黎曼的一段耐人尋味的話

前段時間回了一趟國，當(dāng)然，免不了要逛逛書店。在所購買的少數(shù)理科類圖書中有德國數(shù)學(xué)大師菲利克斯·克萊因（Felix Klein）的《數(shù)學(xué)在19世紀(jì)的發(fā)展》（共兩卷）。出于在《拙劣翻譯與文科研究的風(fēng)險》一文（收錄于本書）所提到的原因，我近來已極少購買譯作（哪怕是理科的譯作）。不過，這套書的譯校者中有我較信賴者（比如齊民友），原始語種（德語）非我所能閱讀，以及完整英譯本不存在這幾大特點，還是使我破了一次例。

回到紐約后，隨手翻看了第二卷譯者李培廉所撰的譯后記。該譯后記的內(nèi)容頗為翔實，既有對翻譯過程及翻譯心得的回顧，也有對圖書本身的介紹。其中對附錄Ⅲ的介紹引起了我的興趣。該附錄所收錄的是波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）1854年的著名演講《論奠定幾何學(xué)基礎(chǔ)之假設(shè)》（On the Hypotheses Which Lie at the Foundation of Geometry）。這篇在黎曼去世后的1868年才發(fā)表的演講奠定了黎曼幾何的基礎(chǔ)，是黎曼一生最重要、對后世影響最大的論文之一。

引起我興趣的是李培廉用粗體字特意強調(diào)的一小段話，那是黎曼在評述無窮小線元長度可以用一個二次微分式的平方根來表示的假設(shè)（用現(xiàn)代記號來表示，即ds²=g_ijdxⁱdx^j）時所寫的：

如果線元可用一二次微分式的平方根來表示的假設(shè)不成立，更為復(fù)雜的關(guān)系就可能出現(xiàn)。但是現(xiàn)在看來確立空間度量基礎(chǔ)的經(jīng)驗的概念，即剛體和光線的概念，在無窮小的范圍內(nèi)已經(jīng)失效；因此很可以設(shè)想，在無窮小的范圍內(nèi)空間的度量關(guān)系與幾何學(xué)的假設(shè)并不相符……

這段文字是李培廉的譯文，由英國著名數(shù)學(xué)家威廉·金登·克利福德（William Kingdon Clifford）所譯的英文版的相應(yīng)文字為：

Still more complicated relations may exist if we no longer suppose the linear element expressible as the square root of a quadric differential. Now it seems that the empirical notions on which the metrical determinations of space are founded, the notion of a solid body and of a ray of light, cease to be valid for the infinitely small. We are therefore quite at liberty to suppose that the metric relations of space in the infinitely small do not conform to the hypotheses of geometry...

兩者大體是一致的。

李培廉盛贊了這段話，嘆之為“多么驚人的遠(yuǎn)見卓識”，并認(rèn)為是廣義相對論的發(fā)展吸引了太多的注意力，才使“這一高瞻遠(yuǎn)矚的思想沒有得到應(yīng)有的重視”，以至于直到量子力學(xué)誕生之后才由德國數(shù)學(xué)家赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）在《幾何學(xué)與物理學(xué)》一文中作了以下闡釋：

在量子理論中，我們相信已經(jīng)認(rèn)識到，那些概念（盧注：指剛體和光線的概念）在接近無限小的時候是如何變得站不住腳的：當(dāng)維度（盧注：宜譯為“線度”或“尺度”）達(dá)到了作用量子的有限值能被感覺到時，所有物理量的統(tǒng)計學(xué)上的不確定性就越來越強地顯示出來。

除引述外爾的話外，李培廉自己也補充道：

這一點在近年來更在頗受人關(guān)注的“超弦”理論中得到了應(yīng)驗：按照這個理論，在尺度為Planck⁽¹⁾單位范圍內(nèi)，空間是11維的……但是這個11維的空間只有一個時間維和三個空間維是伸展開來的，其他維都卷起來了……

這些意在論證（或“應(yīng)驗”）黎曼的“遠(yuǎn)見卓識”或“高瞻遠(yuǎn)矚”的物理闡釋——外爾的以及李培廉自己的——其實都是似是而非的，因為量子力學(xué)并未在“維度達(dá)到了作用量子的有限值能被感覺到”的情形下修正無窮小線元長度可以用一個二次微分式的平方根來表示的假設(shè)；超弦理論中的高維空間也并不影響上述假設(shè)（事實上，黎曼那篇論文本身就是涵蓋高維空間的）。不過，比這種對物理理論的似是而非的援引更值得引起注意的，是這種“論證”本身對黎曼的話就有一定的誤解，因為這種“論證”首先是把黎曼的話當(dāng)成了“遠(yuǎn)見卓識”或“高瞻遠(yuǎn)矚”。這兩個形容詞一般而論，黎曼顯然是當(dāng)之無愧的，但具體到上面那段話，卻似乎與黎曼的語氣有一定的出入，因為“遠(yuǎn)見卓識”或“高瞻遠(yuǎn)矚”都有一種將那段話當(dāng)作預(yù)見或猜測的意味，而黎曼所說的卻是“但是現(xiàn)在看來……已經(jīng)失效”（Now it seems...cease to be valid），這并不是預(yù)見或猜測的口吻，而更像是在敘述一件事實，或?qū)κ聦嵉哪撤N詮釋。