數(shù)理金融初步（原書(shū)第2版）

　　本書(shū)清晰簡(jiǎn)潔地闡述了數(shù)理金融學(xué)的基本問(wèn)題，主要包括套利、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式以及效用函數(shù)、最優(yōu)資產(chǎn)組合原理、資產(chǎn)本資產(chǎn)定價(jià)模型等知識(shí)，并將書(shū)中所討論的問(wèn)題的經(jīng)濟(jì)背景、解決這些問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法和基本思想系統(tǒng)地展示給讀者。本書(shū)內(nèi)容選擇得當(dāng)、結(jié)構(gòu)安排合理，既適合作為高等院校學(xué)生（包括財(cái)經(jīng)類(lèi)專(zhuān)業(yè)及應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)）的教材，同時(shí)也適合從事金融工作的人員閱讀。本書(shū)前言期權(quán)（合約）給其持有者按指定條款買(mǎi)進(jìn)或賣(mài)出某種證券的權(quán)利（但不是義務(wù)）。買(mǎi)入期權(quán)（calloption）給予買(mǎi)入權(quán)利，而賣(mài)出期權(quán)（putoption）給的是賣(mài)出權(quán)利。這兩種期權(quán)都規(guī)定有執(zhí)行價(jià)格和到期日。此外，對(duì)期權(quán)的履行規(guī)定了兩種標(biāo)準(zhǔn)的條件：歐式期權(quán)僅在到期日能行使權(quán)利，而美式期權(quán)行使權(quán)利的時(shí)間則可為到期日及此前任何時(shí)刻。例如，若買(mǎi)進(jìn)一個(gè)執(zhí)行價(jià)為K，到期日為t的期權(quán)，如果此期權(quán)是歐式的，那么其持有者有權(quán)在時(shí)刻t以?xún)r(jià)格K購(gòu)買(mǎi)一股標(biāo)的證券；而若是美式期權(quán)，持有者則有權(quán)在t及此前任何時(shí)刻進(jìn)行這種購(gòu)買(mǎi)。對(duì)一個(gè)完善高效的期權(quán)市場(chǎng)，應(yīng)該有一種有效的計(jì)算方法來(lái)（至少是近似地）估計(jì)各種期權(quán)的價(jià)值。對(duì)買(mǎi)入期權(quán)（不管美式或歐式類(lèi)型），使用著名的Black-Scholes公式可達(dá)到這一目的。該公式假定標(biāo)的證券價(jià)格服從一個(gè)幾何布朗運(yùn)動(dòng)。就是說(shuō)，如果該證券在時(shí)刻y的價(jià)格是S（y），未來(lái)任意指定時(shí)刻t＋y的價(jià)格與y時(shí)價(jià)格之比獨(dú)立于到y(tǒng)時(shí)刻為止的任何歷史價(jià)格，并且它具有均值和方差分別為與的對(duì)數(shù)正態(tài)分布。即：是均值為，方差為的正態(tài)隨機(jī)變量。Black和Scholes證明了：當(dāng)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)假設(shè)時(shí)，對(duì)買(mǎi)入期權(quán)而言，存在這樣一個(gè)唯一的價(jià)格：它不允許理想化的交易者憑借某種交易策略在任何情況下都確保獲利。這里理想化交易者是指那些能夠不花費(fèi)任何交易成本而連續(xù)不斷進(jìn)行交易的人。也就是說(shuō)，當(dāng)且僅當(dāng)期權(quán)價(jià)格由Black-Scholes公式給出時(shí)，不存在確定性的贏利（無(wú)套利）機(jī)會(huì)。此外，該價(jià)格僅依賴(lài)于幾何布朗運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)參數(shù)（還有當(dāng)前利率，標(biāo)的證券價(jià)格和期權(quán)的執(zhí)行條件），而與參數(shù)無(wú)關(guān)。由于參數(shù)度量了該證券的波動(dòng)性，故常將其稱(chēng)為波動(dòng)參數(shù)。風(fēng)險(xiǎn)中性投資者是指這樣一種類(lèi)型的投資者，他們使用投資回報(bào)的期望現(xiàn)值來(lái)估計(jì)該項(xiàng)投資的價(jià)值。如果這類(lèi)投資者用一個(gè)幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)模擬某種證券的價(jià)格隨時(shí)間的演化，從而將涉及該證券的買(mǎi)和賣(mài)變成一種公平賭博，那么這些投資者對(duì)于此證券買(mǎi)入期權(quán)的估價(jià)恰好由Black-Scholes公式給出。由于此原因，Black-Scholes的期權(quán)價(jià)值也常稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)中性?xún)r(jià)值。本書(shū)的首要目的是導(dǎo)出并解釋Black-Scholes公式。然而其推導(dǎo)需要用到某些概率論知識(shí)。前3章致力于這些知識(shí)的敘述。第1章引入概率和概率試驗(yàn)，此外討論了隨機(jī)變量以及它們的期望值和方差的概念。這里的隨機(jī)變量是指這樣一個(gè)量，它的取值由某個(gè)概率試驗(yàn)的結(jié)果決定。第2章引入正態(tài)隨機(jī)變量，這類(lèi)隨機(jī)變量的概率分布由一條鈴形曲線決定。該章還敘述了中心極限定理，該定理是概率論中最重要的理論結(jié)果，它告訴我們：大量隨機(jī)變量的和近似地為一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量。在第3章中我們引進(jìn)幾何布朗運(yùn)動(dòng)，給出了其定義，證明了如何從一些更簡(jiǎn)單過(guò)程的極限獲得它，還討論了用它描述證券價(jià)格的合理性。講述了必要的概率準(zhǔn)備之后，在從第4章開(kāi)始的第二部分中，我們引入了利率和現(xiàn)值的概念。支撐Black-Scholes公式的一個(gè)關(guān)鍵概念是套利，第5章專(zhuān)門(mén)討論它。在此章中我們說(shuō)明在包括單時(shí)期二項(xiàng)模型在內(nèi)的各種情況下，如何使用套利進(jìn)行定價(jià)。第6章討論套利定理，并在多時(shí)期二項(xiàng)模型下，使用它導(dǎo)出期權(quán)唯一無(wú)套利價(jià)格的表達(dá)式。在第7章，我們使用第6章的結(jié)果以及第4章中提出的幾何布朗運(yùn)動(dòng)的近似方法，給出了買(mǎi)入期權(quán)的Black-Scholes定價(jià)方程的一種簡(jiǎn)化推導(dǎo)；此外還討論了期權(quán)價(jià)格作為其參數(shù)的函數(shù)所具有的性質(zhì)，以及關(guān)于delta對(duì)沖復(fù)制策略的性質(zhì)。有關(guān)期權(quán)的其他性質(zhì)放在第8章討論，那里我們推導(dǎo)出當(dāng)標(biāo)的證券支付紅利時(shí)相應(yīng)期權(quán)的價(jià)格公式；給出了利用多時(shí)期二項(xiàng)模型來(lái)確定美式賣(mài)出期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)中性近似價(jià)格的方法；還討論了當(dāng)證券價(jià)格模型為一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)加上某個(gè)隨機(jī)跳躍過(guò)程時(shí)，相應(yīng)期權(quán)無(wú)套利價(jià)格的決定問(wèn)題；此外還給出了關(guān)于波動(dòng)率參數(shù)的幾個(gè)不同估計(jì)量。第9章指出：在許多情況下，僅僅考慮套利性并不能唯一地確定期權(quán)的價(jià)格。此時(shí)起重要作用的，是投資者的效用函數(shù)以及他們對(duì)各種投資可能結(jié)果概率的估計(jì)。本章還引入了均值方差分析，風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值和條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，以及資本資產(chǎn)定價(jià)模型等概念。我們將證明，即使證券價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)且買(mǎi)入期權(quán)按照Black-Scholes公式定價(jià)，仍然可能存在下述投資機(jī)會(huì)：該投資的期望利潤(rùn)為正且標(biāo)準(zhǔn)偏差相對(duì)較?。ㄈ绻顿Y者關(guān)于幾何布朗運(yùn)動(dòng)參數(shù)的估計(jì)值與能將所有投資變成公平賭博的值不同時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)這種機(jī)會(huì)）。第10章研究金融中某些優(yōu)化問(wèn)題。第11章引入了像障礙期權(quán)，亞洲期權(quán)和回望期權(quán)等非標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)或稱(chēng)奇異期權(quán)。我們將說(shuō)明如何使用蒙特卡洛模擬以及方差減小技術(shù)來(lái)有效地確定這些期權(quán)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)中性?xún)r(jià)值。即便人們對(duì)標(biāo)的證券幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型的正確性存在疑問(wèn)，Black-Scholes公式仍是很有用的。因?yàn)橹灰覀兂姓J(rèn)該模型至少是近似有效的，使用該模型就可以給人這樣一種觀念：期權(quán)具有某個(gè)適當(dāng)?shù)膬r(jià)格。因此，如果期權(quán)的實(shí)際交易價(jià)格低于此公式價(jià)格，期權(quán)相對(duì)證券本身來(lái)說(shuō)就是價(jià)格低估了，這就會(huì)導(dǎo)致人們考慮賣(mài)出證券而買(mǎi)入期權(quán)（若期權(quán)交易價(jià)在公式價(jià)格之上，則會(huì)出現(xiàn)相反的現(xiàn)象）。在第12章中將指出：幾何布朗運(yùn)動(dòng)并不總是能夠擬合實(shí)際數(shù)據(jù)。因而需要考慮更一般的模型。在商品價(jià)格情形，許多交易商執(zhí)著地相信存在著平均價(jià)格回歸現(xiàn)象：某些商品的市場(chǎng)價(jià)總是傾向于回復(fù)到某個(gè)固定的價(jià)格。第13章提出一個(gè)較幾何布朗運(yùn)動(dòng)更一般的模型，它可用于模擬這類(lèi)商品的價(jià)格流。本版的新內(nèi)容：在延續(xù)了第一版的基本格調(diào)和框架的同時(shí)，第二版增加了以下內(nèi)容：·給出了Black-Scholes方程的一個(gè)新穎而簡(jiǎn)潔的推導(dǎo)（7.4節(jié)）?！ぬ岢隽薲elta對(duì)沖期權(quán)復(fù)制技術(shù)（7.4節(jié)）?！そo出了Black-Scholes期權(quán)價(jià)格函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)（稱(chēng)為希臘字母）的推導(dǎo)（7.5節(jié)），這些推導(dǎo)此前未曾出現(xiàn)過(guò)，且較文獻(xiàn)中的其他推導(dǎo)方法簡(jiǎn)單。·對(duì)證券的三種不同紅利支付方式，分別推導(dǎo)出了當(dāng)證券分紅時(shí)歐式買(mǎi)入期權(quán)的無(wú)套利價(jià)格（8.2節(jié)）·給出了波動(dòng)率參數(shù)的一種新估計(jì)方法。該方法容易實(shí)現(xiàn)，而且相對(duì)當(dāng)前使用的其他方法而言，能產(chǎn)生一個(gè)更好的波動(dòng)參數(shù)估計(jì)量（8.5.4節(jié)）?！ぴ黾恿擞嘘P(guān)缺乏價(jià)格演化模型時(shí)無(wú)套利定價(jià)的材料，還有關(guān)于期權(quán)價(jià)格作為執(zhí)行價(jià)的凸函數(shù)性質(zhì)的討論，以及期權(quán)組合性質(zhì)的討論（5.2節(jié)）。·增加了下述情形下買(mǎi)入期權(quán)無(wú)套利價(jià)格的一個(gè)新的簡(jiǎn)單的推導(dǎo)：標(biāo)的證券的價(jià)格演化過(guò)程是一個(gè)幾何布郎運(yùn)動(dòng)加上一個(gè)隨機(jī)跳躍。我們得出一個(gè)確切的計(jì)算公式（假定跳躍有對(duì)數(shù)正態(tài)分布），并獲得了它的上下界和近似公式（一般情形，8.4節(jié)）?！さ?0章完全是新的，本章還提出了一些金融優(yōu)化方法。·關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值和條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值一節(jié)是新的（9.4節(jié)）?！ぴ黾恿艘恍┬碌睦雍途毩?xí)。

　　Sheldon M.Ross是加州大學(xué)伯克利分校工業(yè)工程與運(yùn)籌學(xué)系教授，他于1968年在斯坦福大學(xué)獲得統(tǒng)計(jì)學(xué)博士學(xué)位，之后一直在加州大學(xué)伯克利分校任教.他發(fā)表了大量有關(guān)概率與統(tǒng)計(jì)方面的學(xué)術(shù)論文，并出版了多種教材，被各學(xué)校廣泛采用.他還創(chuàng)辦了《Probability in the Engineering and Informational Sciences》雜志并一直擔(dān)任主編. 他是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)會(huì)員，榮獲過(guò)美國(guó)科學(xué)家Humboldt獎(jiǎng).